Cauchy-eloszlás: a fizikában fontos, de nincs várható értéke! Nagy Sándor honlapjára A Tékába, mely ehhez hasonló animációkhoz/szimulációkhoz vezet Nagy Sándor webhelyén

A Hans Lohninger E-mail a szerzőnek (Learning by Simulations) által készített szimuláció csak letöltve futtatható. A magyarított verziót is zip fájlként tölthetjük le: Letöltés indul!. (A program csak ANSI kódolást fogad el, UTF-8-at nem, ezért magyarításkor a hosszú ő és ű helyett rövid ö és ü mellett döntöttem o és u helyett.) Kicsomagolás után két kattintás az .exe fájlra, és elindul a szimuláció.

Alább mutatok egy rolloveres képpárt a programfelületről. A fedőképen a Cauchy-eloszlás (empirikus) sűrűségfüggvénye látszik, míg a kurzorral Húzzuk a kurzort a képre! előcsalogatható alsó képen ugyanilyen eloszlású véletlen számok sorozatának n-átlaga szerepel, amely nem konvergál semmiféle állandó értékhez, hanem rapszodikusan töredezett, jelezve azt, hogy a várható érték nem létezik.

Az alábbiakban használt jelöléseket lásd a hallgatóknak írt összefoglalómban pdf fájl letöltése/megnyitása.

A Cauchy-eloszlásnak ez a hiányosságga maga után vonja azt is, hogy a magasabb rendű momentumai sem léteznek, beleértve a szórást (standard deviációt). Ez meglepetést okozhat azoknak, akik nem ismerik eléggé ezt az eloszlást, de tudják, hogy egy-egy gerjesztett állapot energiája (akár az atomról, akár a magról van szó) nem teljesen meghatározott érték, hanem a gerjesztett állapot élettartamának exponenciális eloszlása miatt Cauchy-eloszlású valószínűségi változó. A Cauchy-eloszlás (normálatlan) sűrűségfüggvényével találkozunk Lorentz-görbe néven a Ugrás saját lapra: Mössbauer-spektrométer Java szimulációja Mössbauer-spektroszkópia esetében is valahányszor egy Mössbauer-spektrumot spektrumcsúcsokra akarunk bontani. Az exponenciális–Cauchy kapcsolat fejeződik ki az ún. idő–energia határozatlanságban is. Az utóbbiról – ebben a kontextusban – írtam egy néhány oldalas ismeretterjesztő cikket pdf fájl letöltése/megnyitása, ha valakit érdekelne. Mindenesetre a várható érték/szórás nemlétezése egy ilyen fontos eloszlás esetében hangsúlyozza a várhatóérték-pótló Ugrás saját lapra centrális paraméterek (helyparaméterek) jelentőségét a statisztikában.

A Cauchy-szimuláció fizikailag azért is érdekes, mert az összehasonlítás alapja (már csak a gyakorlatlan szem számára hasonló, haranggörbeszerű sűrűségfüggvény miatt is) a Ugrás saját lapra normális eloszlás, amely teljesen “normálisan” viselkedik. Nos, a mag gerjesztett állapotainak legerjesztődésével kapcsolatos fotocsúcsokat Gauss-görbével (vagyis “normálatlan” normális sűrűségfüggvényekkel) illesztik a gamma-spektrumok kiértékelése során. Meg kell jegyezni azonban, hogy míg az energiaállapotok Cauchy-féle bizonytalansága (természetes vonalszélessége) pl. egy 57Fe Mössbauer-mag 14,4 keV-es gerjesztett állapota esetében ~10-8 eV (elektronvolt), addig a a 14,4 keV-es fotocsúcs Gauss-görbéje a legmegfelelőbb detektorral felvett gamma-spektrumban is ~200 eV-os csúcsszélességet tükröz mindenféle sztochasztikus hatások miatt, amelyek a detektálás mechanizmusával függnek össze, nem pedig az állapot energiabizonytalanságával. Vagyis a gamma-spektrum csúcsszélessége az adott esetben mintegy 10 nagyságrenddel nagyobb a természetes vonalszélességnél. Ebből jól látszik, hogy a kettőnek nincs közvetlen köze egymáshoz.

A Lorenz-görbe és a Gauss-görbe összehasonlítása

A C(0, 1) Cauchy-eloszlás normált sűrűségfüggvénye (piros görbe) sehogy sem illeszkedik jól az N(μ, σ2) normális eloszlások normált sűrűségfüggvényéhez (halvány színes görbék).

Ha egyező magasságúval (hC) vetjük össze, akkor a normális "derékban" túl széles. Ha pedig egyező szélességűvel (γC), akkor a normális sűrűségfüggvény túl magasnak bizonyul.

Ha viszont a testreszabást magasságra és derékbőségre is elvégezzük (γC hC jelű kék görbe), akkor egyrészt egy normálatlan Gauss-görbe lesz az eredmény, másrészt kitűnik a probléma lényege: a Cauchy sokkal jobban szétterpeszkedik az x tengelyen.

Az m helyzetparaméterű és 2γ félértékszélességű (2γ = FWHM) C(m, γ) Cauchy-eloszlás és a μ várható értékű és σ szórású N(μ, σ2) normális eloszlás hasonlítanak abban, hogy a független Cauchy-változók összege ugyancsak Cauchy-változó lesz, ahogy a független normálisok összege is normális. Van azonban egy lényeges különbség közöttük, ti. a Cauchy-eloszlás esetében az új változó γ szóródási paramétere (nem a szórásról van szó, mert az nem létezik) a tagok szóródási paramétereinek algebrai összege lesz, míg a normális eleoszlás esetében (mint minden olyan eloszlás esetében, amelynek létezik szórása) püthagoraszi összeadás van, vagyis a szórásnégyzetek adódnak össze. A szórást tehát a Pitagorasz-tétel alapján kapjuk meg. A derékszögű háromszögre igaz ugyan, hogy az átfogó a legnagyobb oldal, de azért a két befogó összege mindig nagyobb nála. Ezért a normális változók összege egyre nagyobb szórású lesz ugyan, de a szórás relatív értéke egyre csökken (ez az értelme az átlagolásnak), míg a Cauchy-változók átlagolásával nem megyünk semmire, hiszen az átlagértékek ugyanakkora szóródást mutatnak, mint maguk az átlagolt adatok.

Voigt-görbe: a Lorenz-görbe és a Gauss-görbe konvolúciója

Voigt-görbe

A bal oldali ábra az angol Wikipedia Voigt profile szócikkéből való. (A német Voigt név ejtése: ~fókt.)

A Voigt-görbe egy Lorentz-görbe és egy Gauss-görbe Ugrás saját lapra: Mössbauer-spektrométer Java szimulációja konvolúciója. Más szóval kifejezve, ha pl. egy N(0, σ2) normális eloszlású valószínűségi változót összeadunk egy tőle független C(0, γ) Cauchy-eloszlásúval, akkor az eredmény egy V(0, σ, γ) Voigt-eloszlású változó lesz. Amint látjuk, a spektroszkópiákban kedvelt Voigt-görbe folytonos átmenetet képez a Lorentz-görbe és a Gauss-görbe között.

Cauchy-féle és normális eloszlású véletlen számok

Az ábrán olyan normális, ill. Cauchy-féle véletlen számokat látunk (200 db), amelyekhez tartozó sűrűségfüggvények haranggörbéi azonos félértékszélességűek.

Míg a normális eloszlású adatok mind belül vannak a 0 ± 3σ intervallumon (ahogy várható), a Cauchy-félék közül több is kiszór az ábráról.

 

A Cauchy-eloszlás várhatóérték-nélküliségének fizikai analógiája

A fenti ábrán bemutatott nagy "kiszórás" miatt nem létezik várható értéke a Cauchy-eloszlásnak.

Vessük össze gondolatban a várható érték kiszámítási formuláját azzal a képlettel, amely egy test forgatónyomatékát adja meg egy ponthoz képest, ha csak a gravitáció hat a testre. Látni fogjuk, hogy a kettő matematikailag azonos, vagyis a nem létező várható érték az adott esetben végtelen nagy forgatónyomatékot jelent. Ezért Toldi Miklós képtelen a földről a levegőbe emelni egy fél Lorentz-görbét (ahogy a Cauchy-féle sűrűségfüggvényt a fizikusok ismerik), pedig a normálhatóság miatt akár 1 mg-os modellt is készíthetünk egy végtelenül hosszú és végtelenül merev pauzpapírból.


Vissza Nagy Sándor honlapjára. Releváns |tIt| kínálat: Nukleáris Glosszárium, Asimov Téka

Látogatószám 2013.02.20. óta:

visit counter